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來源：初中數(shù)學(xué)競賽 2005-09-09 16:24:35
如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，那么
反過來，如果x1，x2滿足x1+x2=p，x1x2=q，則x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的兩個(gè)根．一元二次方程的韋達(dá)定理，揭示了根與系數(shù)的一種必然聯(lián)系．利用這個(gè)關(guān)系，我們可以解決諸如已知一根求另一根、求根的代數(shù)式的值、構(gòu)造方程、證明等式和不等式等問題，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)有用的工具．
1．已知一個(gè)根，求另一個(gè)根
利用韋達(dá)定理，我們可以通過方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根．
例1 方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的大根為a，方程x2＋1998x-1999=0的小根為b，求a-b的值．
解 先求出a，b．
由觀察知，1是方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的根，于是由韋達(dá)
又從觀察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根為-1999，從而b=-1999．
所以a-b=1-(-1999)=2000．
例2 設(shè)a是給定的非零實(shí)數(shù)，解方程
解 由觀察易知，x1=a是方程的根．又原方程等價(jià)于
2．求根的代數(shù)式的值
在求根的代數(shù)式的值的問題中，要靈活運(yùn)用乘法公式和代數(shù)式的恒等變形技巧．
例3 已知二次方程x2-3x＋1=0的兩根為α，β，求：
(3)α3＋β3；(4)α3-β3．
解 由韋達(dá)定理知
α+β=3，αβ=1．
(3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)
=(α+β)[(α+β)2-3αβ]
=3(9-3)=18；
(4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)
=(α-β)[(α+β)2-αβ]
例4 設(shè)方程4x2-2x-3=0的兩個(gè)根是α和β，求4α2＋2β的值．
解 因?yàn)棣潦欠匠?/FONT>4x2-2x-3=0的根，所以
4α2-2α-3＝0，
即
4α2=2α＋3．
4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．
例5 已知α，β分別是方程x2＋x-1=0的兩個(gè)根，求2α5+5β3的值．
解 由于α，β分別是方程x2＋x-1=0的根，所以
α2+α-1=0，β2+β-1=0，
即 α2=1-α，β2=1-β．
α5=(α2)2?α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α
=(1-α-2α+1)α=-3α2+2α
=-3(1-α)+2α=5α-3，
β3=β2?β=(1-β)β=β-β2
=β-(1-β)=2β-1．
所以
2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)
=10(α+β)-11=-21．
說明 此解法的關(guān)鍵在于利用α，β是方程的根，從而可以把它們的冪指數(shù)降次，最后都降到一次，這種方法很重要．
例6 設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c=0的兩個(gè)實(shí)根的和為s1，平方和為s2，立方和為s3，求as3＋bs2＋cs1的值．
解 設(shè)x1，x2是方程的兩個(gè)實(shí)根，于是
所以 as3＋bs2＋cs1=0．
說明 本題最“自然”的解法是分別用a，b，c來表示s1，s2，s3，然后再求as3＋bs2＋cs1的值．當(dāng)然這樣做運(yùn)算量很大，且容易出錯(cuò)．下面我們再介紹一種更為“本質(zhì)”的解法．
另解 因?yàn)?/FONT>x1，x2是方程的兩個(gè)實(shí)根，所以
同理
將上面兩式相加便得
as3＋bs2＋cs1＝0．
3．與兩根之比有關(guān)的問題
例7 如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根之比等于常數(shù)k，則系數(shù)a，b，c必滿足：
kb2=(k＋1)2ac．
證 設(shè)方程的兩根為x1，x2，且x1=kx2，由韋達(dá)定理
由此兩式消去x2得
即
kb2＝(k＋1)2ac．
例8 已知x1，x2是一元二次方程
4x2-(3m-5)x-6m2＝0
解 首先，△=(3m-5)2＋96m2＞0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．由韋達(dá)定理知
從上面兩式中消去k，便得
即 m2-6m+5=0，
所以 m1=1，m2=5．
4．求作新的二次方程
例9 已知方程2x2-9x＋8=0，求作一個(gè)二次方程，使它的一個(gè)根為原方程兩根和的倒數(shù)，另一根為原方程兩根差的平方．
解 設(shè)x1，x2為方程2x2-9x＋8=0的兩根，則
設(shè)所求方程為x2+px+q=0，它的兩根為x'1，x'2，據(jù)題意有
故
所以，求作的方程是
36x2-161x＋34=0．
例10 設(shè)x2-px＋q=0的兩實(shí)數(shù)根為α，β．
(1)求以α3，β3為兩根的一元二次方程；
(2)若以α3，β3為根的一元二次方程仍是x2-px＋q=0，求所有這樣的一元二次方程．
解 (1)由韋達(dá)定理知
α+β=p，αβ=q，
所以
α3+β3=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=p(p2-3q)，
α3?β3=(αβ)3=q3．
所以，以α3，β3為兩根的一元二次方程為
x2-p(p2-3q)x+q3=0．
(2)由(1)及題設(shè)知
由②得q=0，±1．若q=0，代入①，得p=0，±1；若q=-1，代入①，
以，符合要求的方程為
x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=0．
5．證明等式和不等式
利用韋達(dá)定理可以證明一些等式和不等式，這常常還要用判別式來配合．
例11 已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足
x=6-y，z2=xy-9，
求證：x=y．
證 因?yàn)?/FONT>x＋y=6，xy=z2＋9，所以x，y是二次方程
t2-6t+(z2+9)=0
的兩個(gè)實(shí)根，于是這方程的判別式
△=36-4(z2+9)=-4z2≥0，
即z2≤0．因z為實(shí)數(shù)，顯然應(yīng)有z2≥0．要此兩式同時(shí)成立，只有z=0，從而△=0，故上述關(guān)于t的二次方程有等根，即x=y．
例12 若a，b，c都是實(shí)數(shù)，且
a＋b＋c=0，abc=1，
證 由a＋b＋c=0及abc=1可知，a，b，c中有一個(gè)正數(shù)、兩個(gè)負(fù)數(shù)，不妨設(shè)a是正數(shù)，由題意得
于是根據(jù)韋達(dá)定理知，b，c是方程
的兩個(gè)根．又b，c是實(shí)數(shù)，因此上述方程的判別式
因?yàn)?/FONT>a＞0，所以
a3-4≥0，a3≥4，
例13 知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的兩個(gè)實(shí)根．
解 (1)顯然a≠0，由△=16a2-16a(a+4)≥0，得a＜0．由韋達(dá)定理知
所以
所以a=9，這與a＜0矛盾．故不存在a，使
(2)利用韋達(dá)定理
所以(a+4)|16，即a+4=±1，±2，±4，±8，±16．結(jié)合a＜0，得a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20．
練習(xí)八
1．選擇：
(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，則判別式△=b2-4ac與平方式M=(2ax0+b)2的關(guān)系是 [ ]
(A)△＞M (B)△=M
(C)△=＜M (D)不確定
(2)方程x2+px+1997=0恰有兩個(gè)正整數(shù)根x1，x2，則
[ ]
(A)-4 (B)8
(C)6 (D)0
為 [ ]
(A)3 (B)-11
(C)3或-11 (D)11
2．填空：
(1)如果方程x2+px+q=0的一根為另一根的2倍，那么，p，q滿足的關(guān)系式是______．
(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根，甲由于看錯(cuò)了二次項(xiàng)系數(shù)，誤求得兩根為2和4，乙由于看錯(cuò)了某一項(xiàng)系數(shù)的符號，
1993+5a2+9a4=_______．
(4)已知a是方程x2-5x+1=0的一個(gè)根，那么a4+a-4的末位數(shù)是______．
另一根為直角邊a，則此直角三角形的第三邊b=______．
3．已知α，β是方程x2-x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求α4+3β的值．
4．作一個(gè)二次方程，使它的兩個(gè)根α，β是正數(shù)，并且滿足關(guān)系式
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