這是久違的奎貝爾教授.奎貝爾教授：;我又為你們想出一個問題.在我飼養(yǎng)的動物中，除了兩只以外所有的動物都是狗，除了兩只以外，所有的都是貓，除了兩只以外所有的都是鸚鵡，我總共養(yǎng)了多少只動物?你想出來了嗎? 奎貝爾教授只養(yǎng)了三只動物：一只狗，一只貓和一只鸚鵡。除了兩只以外所有的都是狗，除了兩只以外所有的都是貓，除了兩只以外所有的都是鸚鵡。 如果你領(lǐng)悟到;所有;這個詞可以指僅僅一只動物的話，頭腦中就有了這個問題的答案。最簡單的情況一只狗，一只貓，一只鸚鵡，既是其解。然而，把這個問題用代數(shù)形式來表示也是一次很好的練習(xí)。

令x，y，z分別為狗，貓，鸚鵡的只數(shù)，n為動物的總數(shù)，可以寫出下列四個聯(lián)立方程：

n=x+2

n=y+2

n=z+2

n=x+y+z

解此聯(lián)立方程有許多標準方法。顯然，根據(jù)前三個方程式，可得出x=y=z。由于3n=x+y+z+6減去第四個方程，得到n=3，因此x+2=3，所以x=1。全部答案可由x值求得。

由于動物只數(shù)通常是正整數(shù)誰養(yǎng)的貓是用分數(shù)來表示只數(shù)的?)，可以把奎貝爾教授的動物問題看作所謂刁番圖問題的一個平凡例子。這是一個其方程解必須是整數(shù)的代數(shù)問題。一個刁番圖方程有時無解，有時只有一個解，有時有不止一個或個數(shù)有限的解，有時有無窮多個解。下面是一個難度稍大的刁番圖問題，同樣也與聯(lián)立方程和三種不同的動物有關(guān)。

一頭母牛價格10元錢，一頭豬價格3元錢，一頭羊價格0.5元錢。一個農(nóng)夫買了一百頭牲口，每種至少買了一頭，總共花了100元錢，問每種牲口買了多少頭?

令x為母牛的頭數(shù)，y為豬的頭數(shù)，z為羊的頭數(shù)，可以寫下如下兩個方程式：

10x+3y+z/2=100

x+y+z=100

把第一個方程中的各項都乘以2消去分數(shù)，再與第二個方程相減以便消去z，這樣得到下列方程式：

19x+5y=100

x和y可能有那些整數(shù)值?一種解法是把系數(shù)最小的項放到方程的左邊：5y=100-19x，把兩邊都除以5得到：

y=100-19x)/5

再把100和19x除以5，將余數(shù)如果有的話)和除數(shù)5寫成分數(shù)的形式，結(jié)果為：

y=20-3x-4x/5

顯然，表達式4x/5必須是整數(shù)，亦即x必須是5的倍數(shù)。5的最小倍數(shù)既是其自身，由此得出y的值為1，將x，y的值帶入任何一個原方程，可得z等于94。如果x為任何比5更大的5的倍數(shù)，則y變?yōu)樨摂?shù)。所以，此題僅有一個解：5頭母牛，一頭豬和94頭羊。你只要把這個問題中牲口的價錢改變一下，便可以學(xué)到許多初等刁番圖分析的知識。例如，設(shè)母牛價錢為4元錢，豬的價錢為2元錢，羊的價錢為三分之一元錢，一個農(nóng)夫準備花一百元錢買一百頭牲口，并且每種牲口至少買一頭，試問他每種牲口可以買多少頭?關(guān)于這一問題，恰好有三種解。但是如果母牛價錢為5元錢，豬的價錢為2元錢，羊0.5元錢呢?那就無解。#p#分頁標題#e#

刁番圖分析是數(shù)論的一大分支，其實際應(yīng)用范圍極廣。有一個著名的刁番圖問題，以費馬最后定理而著稱：設(shè)有方程x n +y n =z n ，其中n是大于2的正整數(shù)，問此方程是否有整數(shù)解如果n=2，則稱此為畢達格拉斯三元數(shù)組，具有自3 2 +4 2 =5 2 起始的無窮多組解)?這是一個最著名的數(shù)論問題，已經(jīng)由英國數(shù)學(xué)家安德魯。威爾斯解決，他用于解決此問題的方法可以說是大大出乎人們的意料，他應(yīng)用了一種叫做橢圓函數(shù)的理論，實際上，他證明的并不是方程本身，而是在橢圓函數(shù)領(lǐng)域中另一個著名的猜想：谷山-志村猜想。由于橢圓函數(shù)的模形式與費馬最后定理同構(gòu)，所以，等于是從側(cè)面攻破了這個300多年的大難題。

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