數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題離不開(kāi)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。為了便于 年級(jí)學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的分析，不妨先明確以下幾個(gè)問(wèn)題：
1.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即為這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對(duì)值，也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊點(diǎn)表示的數(shù)—左邊點(diǎn)表示的數(shù)。
2.點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于數(shù)軸向右的方向?yàn)檎较�，因此向右運(yùn)動(dòng)的速度看作正速度，而向作運(yùn)動(dòng)的速度看作負(fù)速度。這樣在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程就可以直接得到運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a，向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為a—b;向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a b。
3.數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。
例1.已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別代表—24，—10，10，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的速度為4個(gè)單位/秒。
⑴問(wèn)多少秒后，甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位?
⑵若乙的速度為6個(gè)單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，問(wèn)甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇?
⑶在⑴⑵的條件下，當(dāng)甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。問(wèn)甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎?若能，求出相遇點(diǎn);若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。
分析：如圖1，易求得AB=14，BC=20，AC=34
⑴設(shè)x秒后，甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位。此時(shí)甲表示的數(shù)為—24 4x。
①甲在AB之間時(shí)，甲到A、B的距離和為AB=14
甲到C的距離為10—(—24 4x)=34—4x
依題意，14 (34—4x)=40，解得x=2
②甲在BC之間時(shí)，甲到B、C的距離和為BC=20，甲到A的距離為4x
依題意，20 4x)=40，解得x=5
即2秒或5秒，甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位。
⑵是一個(gè)相向而行的相遇問(wèn)題。設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒相遇。
依題意有，4t 6t=34，解得t=3.4
相遇點(diǎn)表示的數(shù)為—24 4×3.4=—10.4 (或：10—6×3.4=—10.4)
⑶甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。而甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí)，即的位置有兩種情況，需分類討論。
①甲從A向右運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)返回。設(shè)y秒后與乙相遇。此時(shí)甲、乙表示在數(shù)軸上為同一點(diǎn)，所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)為：—24 4×2—4y;乙表示的數(shù)為：10—6×2—6y
依題意有，—24 4×2—4y=10—6×2—6y，解得y=7
相遇點(diǎn)表示的數(shù)為：—24 4×2—4y=—44 (或：10—6×2—6y=—44) #p#分頁(yè)標(biāo)題#e#
②甲從A向右運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)返回。設(shè)y秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為：—24 4×5—4y;乙表示的數(shù)為：10—6×5—6y
依題意有，—24 4×5—4y=10—6×5—6y，解得y=—8(不合題意，舍去)
即甲從A點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)2秒后調(diào)頭返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點(diǎn)表示的數(shù)為—44。
點(diǎn)評(píng)：分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，要結(jié)合數(shù)軸上的線段關(guān)系進(jìn)行分析。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后所表示的數(shù)，以起點(diǎn)所表示的數(shù)為基準(zhǔn)，向右運(yùn)動(dòng)加上運(yùn)動(dòng)的距離，即終點(diǎn)所表示的數(shù);向左運(yùn)動(dòng)減去運(yùn)動(dòng)的距離，即終點(diǎn)所表示的數(shù)。
例2.如圖，已知A、B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為—20，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100。
⑴求AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù);
⑵現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇，求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù);
⑶若當(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點(diǎn)相遇，求D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。
分析：⑴設(shè)AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，由BM=MA
所以x—(—20)=100—x，解得 x=40 即AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為40
⑵易知數(shù)軸上兩點(diǎn)AB距離，AB=140，設(shè)PQ相向而行t秒在C點(diǎn)相遇，
依題意有，4t 6t=120，解得t=12
(或由P、Q運(yùn)動(dòng)到C所表示的數(shù)相同，得—20 4t=100—6t，t=12)
相遇C點(diǎn)表示的數(shù)為：—20 4t=28(或100—6t=28)
⑶設(shè)運(yùn)動(dòng)y秒，P、Q在D點(diǎn)相遇，則此時(shí)P表示的數(shù)為100—6y，Q表示的數(shù)為—20—4y。P、Q為同向而行的追及問(wèn)題。
依題意有，6y—4y=120，解得y=60
(或由P、Q運(yùn)動(dòng)到C所表示的數(shù)相同，得—20—4y=100—6y，y=60)
D點(diǎn)表示的數(shù)為：—20—4y=—260 (或100—6y=—260)
點(diǎn)評(píng)：熟悉數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離以及數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵。⑵是一個(gè)相向而行的相遇問(wèn)題;⑶是一個(gè)同向而行的追及問(wèn)題。在⑵、⑶中求出相遇或追及的時(shí)間是基礎(chǔ)。
例3.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為—1，3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x。
⑴若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù);
⑵數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5?若存在，請(qǐng)求出x的值。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?
⑶當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A以每分鐘5個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B一每分鐘20個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，問(wèn)它們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后P點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等? #p#分頁(yè)標(biāo)題#e#
分析：⑴如圖，若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，P為AB的中點(diǎn)，BP=PA。
依題意，3—x=x—(—1)，解得x=1
⑵由AB=4，若存在點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點(diǎn)左側(cè)，或B點(diǎn)右側(cè)。
①P在點(diǎn)A左側(cè)，PA=—1—x，PB=3—x
依題意，(—1—x) (3—x)=5，解得 x=—1.5
②P在點(diǎn)B右側(cè)，PA=x—(—1)=x 1，PB=x—3
依題意，(x 1) (x—3)=5，解得 x=3.5
⑶點(diǎn)P、點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度最快，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度最慢。故P點(diǎn)總位于A點(diǎn)右側(cè)，B可能追上并超過(guò)A。P到A、B的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。
設(shè)運(yùn)動(dòng)t分鐘，此時(shí)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為—t，B對(duì)應(yīng)的數(shù)為3—20t，A對(duì)應(yīng)的數(shù)為—1—5t。
①B未追上A時(shí)，PA=PA，則P為AB中點(diǎn)。B在P的右側(cè)，A在P的左側(cè)。
PA=—t—(—1—5t)=1 4t，PB=3—20t—(—t)=3—19t
依題意有，1 4t=3—19t，解得 t=
②B追上A時(shí)，A、B重合，此時(shí)PA=PB。A、B表示同一個(gè)數(shù)。
依題意有，—1—5t=3—20t，解得 t=
即運(yùn)動(dòng)
或
分鐘時(shí)，P到A、B的距離相等。
點(diǎn)評(píng)：⑶中先找出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P、A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)其位置關(guān)系確定兩點(diǎn)間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程。
例4.點(diǎn)A1、A2、A3、……An(n為正整數(shù))都在數(shù)軸上，點(diǎn)A1在原點(diǎn)O的左邊，且A1O=1，點(diǎn)A2在點(diǎn)A1的右邊，且A2A1=2，點(diǎn)A3在點(diǎn)A2的左邊，且A3A2=3，點(diǎn)A4在點(diǎn)A3的右邊，且A4A3=4，……，依照上述規(guī)律點(diǎn)A2008、A2009所表示的數(shù)分別為( )。
A.2008，—2009 B.—2008，2009 C.1004，—1005 D.1004，—1004
分析：如圖，
點(diǎn)A1表示的數(shù)為—1;
點(diǎn)A2表示的數(shù)為—1 2=1;
點(diǎn)A3表示的數(shù)為—1 2—3=—2;
點(diǎn)A4表示的數(shù)為—1 2—3 4=2 ……
點(diǎn)A2008表示的數(shù)為—1 2—3 4—……—2007 2008=1004
點(diǎn)A2009表示的數(shù)為—1 2—3 4—……—2007 2008—2009=1005 #p#分頁(yè)標(biāo)題#e#
點(diǎn)評(píng)：數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a，向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為a—b;向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a b。運(yùn)用這一特征探究變化規(guī)律時(shí)，要注意在循環(huán)往返運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的方向變化。
練習(xí)題：
1.已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為—2，4，P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為x。
⑴若P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。
⑵數(shù)軸上是否存在P點(diǎn)，使P點(diǎn)到A、B距離和為10?若存在，求出x的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
⑶若點(diǎn)A、點(diǎn)B和P點(diǎn)(P點(diǎn)在原點(diǎn))同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)。它們的速度分別為1、2、1個(gè)單位長(zhǎng)度/分鐘，則第幾分鐘時(shí)P為AB的中點(diǎn)?
(參考答案：⑴0或2;⑵—4或6;⑶2)
2.電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)K0，第一步從K0向左跳一個(gè)單位到K1，第二步由K1向右跳2個(gè)單位到K2，第三步由K2向左跳3個(gè)單位到K3，第四步由K3向右跳4個(gè)單位到K4……按以上規(guī)律跳了100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的K100所表示的數(shù)恰是19.94。試求電子跳蚤的初始位置K0點(diǎn)表示的數(shù)。
(提示：設(shè)K0點(diǎn)表示的數(shù)為x，用含x的式子表示出K100所表示的數(shù)，建立方程，求得x=—30.06)
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