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二次函數(shù)

來源:網(wǎng)絡資源 2019-09-16 21:57:22

中考真題

智能內(nèi)容
  1.如果自變量的取值是全體實數(shù),那么二次函數(shù)在圖象頂點處取到最大值(或最小值)。
 
  這時有兩種方法求最值:一種是利用頂點坐標公式,一種是利用配方計算。
 
二次2.jpg
  二、二次函數(shù)與一元二次方程、二次三項式的關系
 
二次4.jpg
 
  三、二次函數(shù)的實際應用
 
  在公路、橋梁、隧道、城市建設等很多方面都有拋物線型;生產(chǎn)和生活中,有很多“利潤最大”、“用料最少”、“開支最節(jié)約”、“線路最短”、“面積最大”等問題,它們都有可能用到二次函數(shù)關系,用到二次函數(shù)的最值。
 
  那么解決這類問題的一般步驟是:
 
  第一步:設自變量;
 
  第二步:建立函數(shù)解析式;
 
  第三步:確定自變量取值范圍;
 
  第四步:根據(jù)頂點坐標公式或配方法求出最值(在自變量的取值范圍內(nèi))。
 
  常見考法
 
  (1)考查一些帶約束條件的二次函數(shù)最值;
 
  (2)結(jié)合二次函數(shù)考查一些創(chuàng)新問題。
 
  二次函數(shù)頂點式、交點市、兩根式
 
  一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:
 
  (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù),a≠0),則稱y為x的二次函數(shù)。頂點坐標(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
 
  (2)頂點式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0).
 
  (3)交點式(與x軸):y=a(x-x1)(x-x2)
 
  (4)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,a≠0.
 
  說明:
 
  (1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,拋物線的頂點坐標是(h,k),h=0時,拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時,拋物線y=ax2的頂點在原點.
 
  (2)當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時,即對應二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根x1和x2存在時,根據(jù)二次三項式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).
 
 二次5.jpg
 
  誤區(qū)提醒
 
  (1)忽略自變量的取值范圍,所求最值不符合實際意義;
 
  (2)二次函數(shù)的坐標系建立的不恰當,給解題帶來了困難。
 
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  三、二次函數(shù)的實際應用
 
  在公路、橋梁、隧道、城市建設等很多方面都有拋物線型;生產(chǎn)和生活中,有很多“利潤最大”、“用料最少”、“開支最節(jié)約”、“線路最短”、“面積最大”等問題,它們都有可能用到二次函數(shù)關系,用到二次函數(shù)的最值。
 
  那么解決這類問題的一般步驟是:
 
  第一步:設自變量;
 
  第二步:建立函數(shù)解析式;
 
  第三步:確定自變量取值范圍;
 
  第四步:根據(jù)頂點坐標公式或配方法求出最值(在自變量的取值范圍內(nèi))。
 
  常見考法
 
  (1)考查一些帶約束條件的二次函數(shù)最值;
 
  (2)結(jié)合二次函數(shù)考查一些創(chuàng)新問題。
 
  二次函數(shù)頂點式、交點市、兩根式
 
  一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:
 
  (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù),a≠0),則稱y為x的二次函數(shù)。頂點坐標(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
 
  (2)頂點式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0).
 
  (3)交點式(與x軸):y=a(x-x1)(x-x2)
 
  (4)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,a≠0.
 
  說明:
 
  (1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,拋物線的頂點坐標是(h,k),h=0時,拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時,拋物線y=ax2的頂點在原點.
 
  (2)當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時,即對應二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根x1和x2存在時,根據(jù)二次三項式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).
 
  二次5.jpg
 
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  (1)忽略自變量的取值范圍,所求最值不符合實際意義;
 
  (2)二次函數(shù)的坐標系建立的不恰當,給解題帶來了困難。

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