一.方差的概念與計算公式

例1兩人的5次測驗成績如下：

X：50，100，100，60，50E(X)=72;

Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。

平均成績相同，但X不穩(wěn)定，對平均值的偏離大。

方差描述隨機變量對于數(shù)學期望的偏離程度。

單個偏離是

消除符號影響

方差即偏離平方的均值，記為D(X)：

直接計算公式分離散型和連續(xù)型，具體為：

這里是一個數(shù)。推導另一種計算公式

得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。

其中，分別為離散型和連續(xù)型計算公式。稱為標準差或均方差，方差描述波動

二.方差的性質

1.設C為常數(shù)，則D(C)=0(常數(shù)無波動);

2.D(CX)=C2D(X)(常數(shù)平方提取);

證：

特別地D(-X)=D(X)，D(-2X)=4D(X)(方差無負值)

3.若X、Y相互獨立，則

證：記

則

前面兩項恰為D(X)和D(Y)，第三項展開后為

當X、Y相互獨立時，

，

故第三項為零。

特別地

獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

方差公式：

平均數(shù)：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示這組數(shù)據(jù)個數(shù)，x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值)

方差公式：S²;=〈(M-x1)²;+(M-x2)²;+(M-x3)²;+…+(M-xn)²;〉╱n

三.常用分布的方差

1.兩點分布

2.二項分布

X~B(n，p)

引入隨機變量Xi(第i次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，服從兩點分布)

，

3.泊松分布(推導略)

4.均勻分布

另一計算過程為

5.指數(shù)分布(推導略)

6.正態(tài)分布(推導略)

7.t分布：其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分布：其中X~F(m，n)，E(X)=n/(n-2);

~

正態(tài)分布的后一參數(shù)反映它與均值的偏離程度，即波動程度(隨機波動)，這與圖形的特征是相符的。

例2求上節(jié)例2的方差。

解根據(jù)上節(jié)例2給出的分布律，計算得到

工人乙廢品數(shù)少，波動也小，穩(wěn)定性好。

方差的定義：

設一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3······xn中，各組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔)²;，(x2-x拔)²;······(xn-x拔)²;，那么我們用他們的平均數(shù)s2=1/n【(x1-x拔)²;+(x2-x拔)²;+·····(xn-x拔)²;】來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。

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