構(gòu)造輔助線的常用方法

1.關(guān)于角平分線的輔助線

當(dāng)題目的條件中出現(xiàn)角平分線時(shí)，要想到根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線。

角平分線具有兩條性質(zhì)：

①角平分線具有對(duì)稱性;

②角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

關(guān)于角平分線常用的輔助線方法：

(1)截取構(gòu)全等

如下左圖所示，OC是∠AOB的角平分線，D為OC上一點(diǎn)，F(xiàn)為OB上一點(diǎn)，若在OA上取一點(diǎn)E，使得OE=OF，并連接DE，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。

例：如上右圖所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。

提示：在BC上取一點(diǎn)F使得BF=BA，連結(jié)EF。

(2)角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等

利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。如下左圖所示，過(guò)∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)D向角兩邊OA、OB作垂線，垂足為E、F，連接DE、DF。

則有：DE=DF，△OED≌△OFD。

例：如上右圖所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180

(3)作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

如下左圖所示，從角的一邊OB上的一點(diǎn)E作角平分線OC的垂線EF，使之與角的另一邊OA相交，則截得一個(gè)等腰三角形(△OEF)，垂足為底邊上的中點(diǎn)D，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。

如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交，從而得到一個(gè)等腰三角形，可總結(jié)為：“延分垂，等腰歸”。

例：如上右圖所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點(diǎn)。

求證：DH=(AB-AC)

提示：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。

(4)作平行線構(gòu)造等腰三角形

作平行線構(gòu)造等腰三角形分為以下兩種情況：

①如下左圖所示，過(guò)角平分線OC上的一點(diǎn)E作角的一邊OA的平行線DE，從而構(gòu)造等腰三角形ODE。

②如下右圖所示，通過(guò)角一邊OB上的點(diǎn)D作角平分線OC的平行線DH與另外一邊AO的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，從而構(gòu)造等腰三角形ODH。

2.由線段和差想到的輔助線

01

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：

①截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條;

②補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。

截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。

在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB=2∠B，求證：AB=AC+CD。

因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線

所以∠BAD=∠CAD

在AB上作AE=AC

又AD=AD

由SAS得：△EAD≌△CAD

所以∠EDA=∠CDA,ED=CD

又因?yàn)?ang;CDA=∠B+∠BAD, ∠BDA=∠C+∠CAD, ∠C=2∠B

所以∠BDE=∠BDA-∠EDA

=(∠C+∠CAD)-∠CDA

=(2∠B+CAD)-(∠B+∠BAD)

=∠B

所以△BED為等腰三角形

所以EB=ED=CD

所以AB=AE+EB=AC+CD

02

對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。

在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。

例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.

(法1)證明：將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM+AN > MD+DE+NE;(1)

在△BDM中，MB+MD>BD; (2)

在△CEN中，CN+NE>CE; (3)

由(1)+(2)+(3)得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

∴AB+AC>BD+DE+EC

(法2)如圖1-2， 延長(zhǎng)BD交 AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB+AF> BD+DG+GF(三角形兩邊之和大于第三邊) (1)

GF+FC>GE+CE(同上) (2)

DG+GE>DE(同上) (3)

由(1)+(2)+(3)得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

∴AB+AC>BD+DE+EC。

03

在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：

例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC>∠BAC。

分析：因?yàn)?ang;BDC與∠BAC不在同一個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置。

證法一：

延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，

∴∠BDC>∠BAC

證法二：

連接AD，并延長(zhǎng)交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD

∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD

即：∠BDC>∠BAC。

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

3.由中點(diǎn)想到的輔助線

在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)(等腰三角形底邊中線性質(zhì))，然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。

(1)中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形

即如圖1，AD是ΔABC的中線，則

SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC(因?yàn)?Delta;ABD與ΔACD是等底同高的)。

例1 如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。

(2)倍長(zhǎng)中線

已知中點(diǎn)、中線問(wèn)題應(yīng)想到倍長(zhǎng)中線，由中線的性質(zhì)可知，一條中線將中點(diǎn)所在的線段平分，可得到一組等邊，通過(guò)倍長(zhǎng)中線又可得到一組等邊及對(duì)頂角，因而可以得到一組全等三角形。如圖，延長(zhǎng)AD到E，使得AD=AE，連結(jié)BE。

4.其他輔助線做法

(1)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形

在一些求證三角形問(wèn)題中，延長(zhǎng)某兩條線段(邊)相交，構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問(wèn)題的解決.

例4.如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD為∠ABC的平分線.若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a，求BE的長(zhǎng).

延長(zhǎng)AD、BC交于F,

∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,

∴∠DAE=∠CBE,

又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,

∴△ACF≌△BCE,

∴BE=AF,

∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,

∴△ABD≌△FBD,

∴AD=FD=1/2AF, AD為a

∴BE=2a

(2)連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。

例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC 求證：AB=CD。

分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形全等來(lái)解決。

(3)連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形

例如：已知：如圖10-1;AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB=DC，AC=BD，求證：∠A=∠D。

分析：要證∠A=∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB=DC和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A=∠D。

(4)取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形

例如：如圖11-1：AB=DC，∠A=∠D 求證：∠ABC=∠DCB。

分析：由AB=DC，∠A=∠D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN=CN，∠ABN=∠DCN。下面只需證∠NBC=∠NCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC=∠NCB。問(wèn)題得證。

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