【典型例題】例1.若關(guān)于x的方程(a+1)(a-1)x2-(13a-5)x+36=0的解都是整數(shù)，求所有符合條件的整數(shù)a的值。

【分析】當(dāng)方程為一元二次方程時(shí)，用因式分解法易得根的表達(dá)式，然后利用整除性分析求出符合條件的整數(shù)a.

【點(diǎn)評(píng)】因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論。

例2.設(shè)a,b均為整數(shù)，求證：關(guān)于x的方程x2+10ax+5b+3=0,x2+10ax+5b-3=0均無(wú)整數(shù)根。

【分析】可直接從判別式入手，分析其個(gè)位數(shù)字的特征，得到判別式不可能是平方數(shù)，從而證明方程均無(wú)整數(shù)根。

【點(diǎn)評(píng)】一元二次方程有有理根的條件：Δ=b2-4ac為平方數(shù).而完全平方數(shù)的末尾數(shù)字只能是0, 1,4, 5, 6, 9.

例3.當(dāng)整數(shù)k為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程x2+(k-1)x+k-1=0有兩個(gè)有理根.

【分析】一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程有有理根，那么它的判別式一定是平方數(shù)。

【點(diǎn)評(píng)】一元二次方程有理根問(wèn)題通�？赊D(zhuǎn)化為二元二次不定方程的整數(shù)根問(wèn)題進(jìn)行求解。

例4.已知關(guān)于x的方程mx2+(m+1)x+m-1=0的根是整數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值.

【分析】可根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和與積，通過(guò)消去參數(shù)m轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1,x2的不定方程整數(shù)根問(wèn)題進(jìn)行求解。

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)韋達(dá)定理得到關(guān)于兩根的不定方程是解決方程整數(shù)根問(wèn)題的常用方法。

例5.已知關(guān)于x的方程x2+px+q4=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，p,q都是素?cái)?shù)，求這個(gè)方程的根。

【分析】根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合p,q都是素?cái)?shù)逐步確定p,q的值。

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)方程的根是整數(shù)，參數(shù)是素?cái)?shù)時(shí)，一般可以借助韋達(dá)定理求解。

例6.試求出所有這樣的正整數(shù)a,使得關(guān)于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一個(gè)整數(shù)根。

【分析】利用判別式為完全平方數(shù)更換參數(shù)，再結(jié)合整除性分析求解。

【點(diǎn)評(píng)】本題也可把a(bǔ)當(dāng)作未知數(shù)，x看作系數(shù)進(jìn)行更換主元，這種“反客為主”的方法，具有化難為易，化繁為簡(jiǎn)之功效。

例7.已知關(guān)于x的方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分別各有兩個(gè)整數(shù)根x1,x2和x'1,x'2且x1x2> 0,x'1x'2> 0.(1)求證：x1<0,x2<0,x'1<0,x'2<0;(2)求證：b-1≤c≤b+1;(3)求b,c所有可能的值.

【分析】(1)利用韋達(dá)定理進(jìn)行判斷;(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系和整數(shù)根分別證明b-1≤c和c≤b+1;(3)根據(jù)(2)中b-1≤c≤b+1,分c=b+1,c=b,c=b-1三種情況進(jìn)行求解.

【點(diǎn)評(píng)】再次體現(xiàn)了韋達(dá)定理在解決方程整數(shù)根問(wèn)題中的重要性。

例8.已知函數(shù)y=x2+bx-c的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(1,a),Q(2, 10a),且與x軸的交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，與y軸的交點(diǎn)為C. 求ΔABC的面積。

【分析】如果還沒(méi)有學(xué)習(xí)二次函數(shù)，但這里只用到函數(shù)圖象的基本概念，即P,Q坐標(biāo)滿足函數(shù)，A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)就是方程x2+bx-c=0的兩個(gè)根，依題意這是兩個(gè)整數(shù)根.

【點(diǎn)評(píng)】韋達(dá)定理解決一元二次方程整數(shù)根時(shí)，常常需要將兩根和與兩根積相加或相減，使組成的多項(xiàng)式可以分組分解，這樣有利于求整數(shù)根。

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