能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。(congruent triangles)
全等三角形是相似三角形的特例。
全等三角形的特征:
1.形狀,大小完全相同,相似比是k=1.
全等三角形一定是相似三角形,而相似三角形不一定是全等三角形。
因此,相似三角形包括全等三角形。
全等三角形的定義:
能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。(注:全等三角形是相似三角形中的特殊情況)
當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí),互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊,互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。
由此,可以得出:全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等。
(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊,兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊;
。2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角,兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角;
。3)有公共邊的,公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊;
。4)有公共角的,角一定是對(duì)應(yīng)角;
(5)有對(duì)頂角的,對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角;
三角形全等的判定公理及推論:
1、三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡稱SSS或“邊邊邊”),這一條也說明了三角形具有穩(wěn)定性的原因。
2、有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS或“邊角邊”)。
3、有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA或“角邊角”)。
由3可推到
4、有兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS或“角角邊”)
5、直角三角形全等條件有:斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL或“斜邊,直角邊”)
所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,沒有AAA和SSA,這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。
SSA中的A不為銳角時(shí)可以證明全等
A是英文角的縮寫(angle),S是英文邊的縮寫(side)。
全等三角形的性質(zhì):
1、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等。
2、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。
3、全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等。
4、全等三角形的對(duì)應(yīng)中線相等。
5、全等三角形面積相等。
6、全等三角形周長相等。
7、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(SSS)
8、兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(SAS)
9、兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(ASA)
10、兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(AAS)
11、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。(HL)
全等三角形的運(yùn)用:
1、性質(zhì)中三角形全等是條件,結(jié)論是對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等。 而全等的判定卻剛好相反。
2、利用性質(zhì)和判定,學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地找出兩個(gè)全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角是關(guān)鍵。在寫兩個(gè)三角形全等時(shí),一定把對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn),角、邊的順序?qū)懸恢,為找?duì)應(yīng)邊,角提供方便。
3,當(dāng)圖中出現(xiàn)兩個(gè)以上等邊三角形時(shí),應(yīng)首先考慮用SAS找全等三角形。
4、用在實(shí)際中,一般我們用全等三角形測(cè)等距離。以及等角,用于工業(yè)和軍事。有一定幫助。
全等三角形做題技巧:
一般來說考試中線段和角相等需要證明全等。
因此我們可以來采取逆思維的方式。
來想要證全等,則需要什么
另一種則要根據(jù)題目中給出的已知條件,求出有關(guān)信息。
然后把所得的等式運(yùn)用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)證明三角形全等。
位似
概念:相似且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行的兩個(gè)圖形叫做位似。
位似一定相似但相似不一定位似~